克日
，再登钻研最新南京大学固体微妄想物理国家重点试验室 、顶刊今世工程与运用迷信学院的宣告陈延峰教授团队的卢明辉传授课题组与西班牙马德里先进质料钻研所的Johan Christensen传授课题组相助配合回顾了光声典型零星中拓扑物理的最新妨碍，并对于该钻研倾向提供了凋谢性的拓扑展望
。相关综述以“A second wave of topological phenomena in photonics and acoustics”为题宣告于《Nature》期刊上
。物理其余退出撰写的品评有南京大学今世工程与运用迷信学院张秀娟副教授、日立ABB电网钻研中间Farzad Zangeneh-Nejad博士以及南京大学苏州校区功能质料与智能制作钻研院陈泽国副教授。再登钻研最新

老例拓扑光学以及声学零星，顶刊好比突破光阴反演对于称性的宣告Chern绝缘体 、保存光阴反演对于称性并运用自旋轨道耦合实现的拓扑拓扑绝缘体、突破空间（反演、物理镜面）对于称性实现的品评谷霍尔绝缘体 、以及具备配合能带简并的再登钻研最新无能隙拓扑妄想、Floquet拓扑绝缘体等，顶刊它们的宣告拓扑性子都由基于布洛赫能带实际的拓扑巩固量妨碍形貌以及表征 。可是，最近的钻研表明 ，在非厄米、非线性、非阿贝尔或者存在拓扑缺陷的非老例零星中，零星哈密顿量的本征能量或者本征向量泛起单数  、能带泛起环抱瓜葛交织，传统的布洛赫能带实际再也不适宜表征其拓扑性子（见图1） 。随着大批相关钻研使命的泛起 ，拓扑物理正在履历新一波的睁开浪潮 。其中，光/声学零星患上益于其高度可控的质料妄想 、加工及检测平台，光子以及声子等玻色子的非失调态特色 ，正在迎来拓扑物理的新一波的睁开。陈延峰教授以及卢明辉教授团队临时处置家养微妄想质料拓扑物理的钻研
，在老例拓扑方面取患了颇为丰硕的钻研下场，好比初次实现声拓扑绝缘体；在非老例拓扑物理规模也积攒了较为丰硕的钻研履历，特意是在非厄米拓扑方面，好比非厄米PT对于称、非厄米配合特色、非厄米趋肤效应等。咱们留意到非老例拓扑物理近些年来睁开快捷，意见到对于其妨碍回顾、总结以及展望的需要性以及急切性  。本综述总结了最具代表性的多少类非老例拓扑系统 ，搜罗非厄米拓扑
、非线性拓扑 、非阿贝尔拓扑以及拓扑缺陷等方面的最新妨碍 ，并对于该规模的下一步睁开提供了凋谢性的展望。

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图1.（a）老例拓扑绝缘体的典型能带妄想（上），其拓扑性子个别用非重大的贝里曲率（下）来表征。（b）与老例拓扑零星差距 ，一些非厄米零星中的拓扑性子需要由复能带绕组（complex energy winding）来表征 。（c）非线性零星中随着零星输入功率的削减  ，能带妄想无奈准断界说 ，此时零星的拓扑性子可经由火析传输相位及其绕组行动来妨碍表征。（d）三叶结绳结妄想（左）、以及能带节点组成的编织妄想（右），可能都用根基群 (the fundamental group) 来形貌，在特定的妄想间还具备确定的等价性
。（e）涡旋缺陷
，其拓扑性子源自于实空间中的妄想扭曲，无奈用倒空间的能带性子妨碍形貌 。

非厄米拓扑

非厄米性代表零星与外界存在着能量交流，这在凋谢零星中颇为罕有 。非厄米零星具备单数本征值以及非正交的本征向量 ，这导致了一些幽默的非厄米拓扑物理天气，这些天气揭示出与厄米系统拓扑效应残缺差距的特色。本节将对于这些别致的天气妨碍较为零星地品评 。

与厄米零星相似，合成非厄米零星的拓扑性子依然依赖能带以及带隙的意见。对于非厄米零星，其复平面上本征能谱的带隙以线状或者点状的方式扩散  ，对于应两种根基规范：假如零星的非厄米哈密顿量的复能谱被一条基线离隔，那末就说这个零星具备线带隙；假如存在一个复能量基点EB知足 [H(k)?EB]≠0[H(k)展现零星哈密顿量 ，k代表布里渊区里的恣意波矢]，那末就说这个零星具备点带隙（详细示例见下方Box）。

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Box. 非厄米带隙。思考两种周期脾性子，其非厄米性分说源头于原位增益/斲丧（a）概况非对于称耦合（b），前者会泛起线带隙 ，可进一步分为实带隙以及虚带隙（c）  ，后者泛起特殊的点带隙（d） 。

任何具备线带隙的非厄米哈密顿量都可能不断变更成厄米（对于应实带隙）概况反厄米（对于应虚带隙）矩阵，响应的非厄米零星秉持了其厄米零星的拓扑性子
，因此这规范的非厄米拓扑巩固量可能在厄米拓扑巩固量的根基上妨碍适量的变更后患上到
。差距之处在于非厄米零星中的领土态由于非厄米熏染会履历淘汰或者斲丧 (留意，在PT对于称零星中，它们可能仍为实方式)
。非厄米领土态开辟了光声典型波规模的一系列钻研
 ，好比运用非厄米拓扑领土态淘汰的特色可能实现拓扑激光 (图2a)。钻研发现 ，患上益于其拓扑鲁棒性的优势，非厄米拓扑领土态在激射历程中展现出功率密度的增强以及高晃动性。拓扑激光的钻研不光在光学中普遍睁开
，在声学中，人们也试验运用电热声耦合实现声学拓扑态的增益 (图2b)。

与线带隙差距 ，零维的点带隙具备颇为特殊的本征能量绕组（见Box） ，这发生了非厄米零星特有的能带拓扑妄想，并导致了良多幽默的天气，好比非厄米趋肤效应、复能带编织、以及无带隙的非厄米配合特色等 。非厄米趋肤效应是一种在非厄米驱动下零星所有的（或者部份的）本征态局域在领土处的效应
，它的拓扑源头正是复能带的绕组。光学以及声学零星短缺发挥了其质料平台的优势 ，提出了实现非厄米趋肤效应的种种措施
。好比 ，将光阴调制运用到光纤环路，可能取患上光子的不同过错称耦合从而发生非厄米趋肤效应 。受这一效应调制，光波爆发不同过错称传输进而群集到指定的领土位置（图2c）。

艰深情景下 ，能带的扭曲以及编织（图2d）与点带隙的能量绕组相关。可是 ，最近的钻研发现 ，对于具备多条能带的非厄米零星 ，多带性子使患上惟独小部份能带编织具备清晰界说的点或者线带隙。针对于此，钻研职员提出了同伦实际 ，运用编织群提供了更艰深的非厄米能带表征，美满了点以及线带隙的表征措施。基于这一措施，人们发现复能带的扭曲以及编织能组成编织群 ，致使照料有非阿贝尔特色（更多品评辩说见非阿贝尔物理小节） 。

另一个非厄米拓扑的新兴分支是无带隙非厄米简并。与厄米的简并差距，非厄米简并个别展现出配合特色（exceptional characteristics）
。好比，图2e揭示了将散射斲丧引入到光波导阵列中时
，原本零星反对于的厄米外尔点酿成为了非厄米外尔配合环，其上所有能量本征值以及本征向量同时塌缩。散漫多种晶格对于称性，非厄米简并可能以多种方式具象，好比配合点 、配合线 、配合环、致使更重大的配合链等。这些配合特色同样属于非厄米能带拓扑的规模，可能经由点/线带隙或者同伦实际来妨碍表征。

综上，非厄米性与拓扑相的散漫是光/声拓扑钻研中一个发达睁开的规模，家养妄想的高度可妄想性也将进一步增长其根基以及运用钻研 。

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图2. 非厄米拓扑天气。（a）光学拓扑激光器。（b）声学非厄米拓扑微腔。（c）在具备不同过错称耦合以及非厄米点带隙的零星中实现非厄米趋肤效应。（d）在光学零星中，基于振幅以及相位调制器实现非厄米复能带的编织。（e）将散射斲丧引入光螺旋波导阵列中，原本无斲丧时的厄米外尔点扩展成为了非厄米的外尔配合环 。

非线性拓扑

大少数的拓扑妄想都具备一个配合的特色：零星是线性的，即功能所谓的叠加道理。可是，非线性在良多物理零星中普遍存在 ，它可能导致良多幽默的效应 ，好比谐波天生、自聚焦以及孤子转达。零星中非线性的存在对于拓扑相及其领土态的实际清晰提出了挑战，这是由于当非线性变强时 ，周期性妄想的模态解不能再运用类布洛赫函数来表征，致使于不能准断界说能带妄想以及拓扑巩固量。这些特色开辟以及增长了非线性拓扑物理的普遍睁开 。

与传统的线性拓扑妄想比照  ，非线性拓扑妄想提供了幽默的可重构性。此类拓扑零星的非线性行动象征着其领土态的能源学依赖于激发强度 ，经由调节外部泵浦能量强度，不光可能操作拓扑相变 ，还可能操作响应带隙内领土态的特色。这一特质可能为下一代具备拓扑特色的可重构光学以及声学配置装备部署提供开辟。

图3a揭示了一个由非线性诱惑的光学拓扑绝缘体的例子，它是基于具备交替的线性以及非线性耦合光波导组成的二分方晶格。非线性耦合是经由在光波导的实用折射率之间引入失谐来实现的，这迫使确定比例的光不断留在最后激发的波导中，从而导致克尔型非线性。在线性形态（低功率）时，晶格妄想是拓扑重大的，随着光功率的削减，零星被驱动到高于某个功率阈值的拓扑非重大形态 ，拓扑领土态随之发生，如图3b所示。除了光学零星外 ，非线性拓扑妄想在声学 、机械平台等规模也有钻研。

图3a中形貌的妄想由无源元件制成，其特色对于应于厄米拓扑妄想 。最近，非线性拓扑绝缘体的意见已经扩展到非厄米零星规模 ，展现出如PT对于称性等幽默天气
。与厄米情景相似，非厄米拓扑零星中的非线性效应可能被看成调节旋钮来操作PT对于称性以及响应的非厄米拓扑领土态的性子。好比 ，钻研职员基于增益以及斲丧波导以及界面缺陷组成非厄米SSH晶格，发现引入光学非线性可能修正波导折射率的实部
，从而可能实用操作非厄米SSH晶格的增益以及斲丧，使零星在PT对于称以及PT破缺形态之间切换，并伴同着拓扑零能方式的破损以及复原，如图3c所示
。

与非线性拓扑性子相关的另一个幽默天气是与拓扑领土态共存的孤子波，这一天气艰深爆发在当非线性效应抵偿零星中的色散效合时。图3d揭示了基于周期性调制的光波导阵列中 ，在非线性存在的情景下 ，光学克尔效应会导致光孤子波的组成，后者可能在不修正形态的情景下沿着拓扑妄想的领土妨碍转达。拓扑领土孤子黑白线性零星中特有的方式 ，不能重大地凭证线性零星中的能带拓扑来表征，其拓扑特色及分类还需进一步钻研 。

此外
，以非伟概况极化为特色的非线性拓扑零星向更高阶扩展也是一个新兴倾向，其中二阶非线性拓扑相已经在实际上被提出
，并在基于菱形kagome晶格组成的光学零星中患上到了试验证实 
。如图3e所示，这种非线性二阶拓扑绝缘体反对于无带隙角态，可能经由零星的输入功率妨碍调控，有望在能量群集以及非线性激射等方面发生运用
。

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图3. 非线性拓扑妄想。（a）二维非线性光学拓扑绝缘体，其非线性是基于具备失谐折射率的耦合光波导予以实现。（b）在低功率形态下 ，光衍射到晶格外部；对于高输入功率值 ，零星爆发拓扑相变 ，酿成拓扑非重大相 ，泛起手性领土通道。（c）基于耦合光波导的非厄米拓扑SSH模子，其中非线性操作零星的增益以及斲丧，使其在PT对于称以及非PT对于称形态之间切换，并伴同着具备增益（左）以及斲丧（右）界面的拓扑零能方式的破损以及复原。（d）沿Floquet 拓扑绝缘体的边缘组成的光孤子波。（e）在二阶拓扑绝缘体的拐角处组成非线性引起的角态 。

非阿贝尔物理

能带拓扑引起关注与兴趣的中间在于其鲁棒的领土照应上，谈及鲁棒性 ，同样艰深生涯中能揭示鲁棒性的还搜罗绳结妄想。绳结妄想可由一组重大的绳结巩固量形貌，在数学上可运用根基群实际对于绳结余空间 (knot completement) 妨碍分类 ，而最罕有的三叶节绳结群就黑白阿贝尔的 。非阿贝尔群以群乘法运算的非交流性为特色 ，在物理学中普遍存在 。本节扼要品评了近些年来典型波零星中对于非阿贝尔妄想（搜罗非阿贝尔尺度场
、非阿贝尔多少多相、非阿贝尔拓扑荷与能带中的绳结妄想）的最新钻研。

引入非阿贝尔运算的一个罕有例子是在三维空间中环抱x轴以及y轴妨碍两次旋转 ，将此旋转操作类比为尺度操作且映射到物理量中，可能实现非阿贝尔尺度场 。好比
，思考希尔伯特空间正交的两个简并光学方式，运用含时调制与法拉第效应这两种突破光阴反演对于称性的效应去实现光学方式在希尔伯特空间的旋转 ，分说对于应于图4（a）的两个旋转算符以实现非阿贝尔的尺度场。编织是另一种有望实现容错拓扑量子合计的非阿贝尔运算，在二维中交流两个恣意子可能模拟编织操作，当波及三个或者更多恣意子时，该编织操作黑白阿贝尔的 。可是迄今为止，恣意子的试验审核方面依然存在至关大的技术挑战。幽默的是
，参数空间中两个简并态沿着球体八分之一律况的平行传输可能实现类比于恣意子交流的“态的交流”，再现了编织操作 。在声学以及激光直写波导阵列中可能经由多个简并态的绝热演化来复现非阿贝尔多少多相，从而天生幺正群以及编织群（图4b） 。在典型零星中，纯挚的手征对于称呵护的方式简并黑白常单薄结子的 ，为了规避妄想缺陷的影响 ，有望经由可调的外部场来动态地驱动简并方式 。纵然不欠缺的简并方式，多态演化也会引入非阿贝尔行动，好比非阿贝尔Thouless泵浦，其非阿贝尔性子源自三个形态之间两个差距泵浦循环的组合。非阿贝尔多少多相位也存在于自对于偶的机械零星中 ，这会影响波包的转达并导致非交流的机械照应。此外，在非厄米零星中环抱多个配合点的形态交流也可能组成复能带的拓扑编织，其中差距结点妄想的能谱已经被审核到 。置换群也可能黑白阿贝尔的，环抱配合点的闭环操作个别伴同着态的置换，如图4c揭示了置换组成的非阿贝尔二面体群
。

除了探究基于态操作的非阿贝尔天气外，钻研职员还重新审阅了能带物理中的拓扑巩固量 ，并发现了其也可能具备非阿贝尔妄想。 单个带隙或者带节点可能用拓扑巩固量来表征，对于称性的引入进一步丰硕了其分类，其拓扑巩固量归为阿贝尔群。 基于阿贝尔群性子的知识以为 ，带以及带隙拓扑经由重大的加减法相互分割 ，而后其中一个做作推论便是相同手征的外尔点聚在一起可能湮灭 。 可是 ，假如思考基于多能带的拓扑瓜葛，下面的论断就有待商议了 。

与Dirac或者Weyl点相关的拓扑效应 ，个别以阿贝尔的拓扑巩固量为特色 ， 可是
，经由思考具备多能带组成的节点线金属，钻研者发现其中搜罗着非阿贝尔特色 。在特定对于称性呵护下
，存在某尺度可能使患上态可用纯实数形貌。如斯，对于这些态空间妨碍分类可能更好地适用根基群实际现有的论断
  ，其态空间根基群可能是阿贝尔群或者非阿贝尔群，与所波及的能带数目有相关性（图4d）。综合思考多能带引起的非阿贝尔特色会泛起出一些差距的天气 ，搜罗一维零星中Zak相形貌之外的非重大带隙以及响应领土态，以及二维零星中的非阿贝尔能带节点以及欧拉类（Euler Class）。在三维上，运用根基群可能预料种种可应承的节线构型，好比节点链、节点环以及节点耳饰等等 ，以及它们之间的相互转化纪律 。好比，非阿贝尔拓扑与空间对于称性的相互熏染使患上成对于的外尔点可能会散漫或者转化为节线环  。

可能看出，上述提到的非阿贝尔群，每一每一出如今全局零星的钻研中，综合思考了晃动零星中内禀逍遥度 、与外场相互熏染 、高维参数空间与能带空间的结协熏染等。其丰硕的外在妄想势必引出大批待探究的钻研倾向。好比，差距于驰名的体边对于应关连 ，非阿贝尔拓扑中体-边对于应的下场尚未处置。尽管已经有试验使命展现其体边对于应关连可能由非阿贝尔群的群乘法抉择 ，可是这只是品评辩说了一维天气 ，高维天气的推广尚未可知，而且其严厉的数学证实依然是一个挑战 。

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图4. 非阿贝尔刚强物理  ，算符的不可交流性组成为了非阿贝尔妄想 。（a）SU(2)群，其中含时调制以及法拉第效应分说对于应两个旋转算符。（b）编织群 ，其中沿着某些参数循环的形态演化展现为编织算子。（c）置换群，其中在非厄米零星中交流的本征态展现为置换算符。（d）与阿贝尔拓扑巩固量表征的双带模子比照，具备实本征态的多带模子波及到非阿贝尔能带拓扑，图中标志展现由非阿贝尔群元素表征的能带节点。

拓扑缺陷

当部份缺陷被引入到拓扑晶格中，而部份的晶格对于称性并无被破损时，领土态或者角态依然存在。在本节中，咱们关注的不是部份缺陷 ，而是原本欠缺晶体中的拓扑缺陷。这些拓扑缺陷由于在有序妄想中组成部份扭结或者拦阻物
，因此不能经由晶格重排或者不断变形来修复 。个别 ，拓扑缺陷搜罗一个序列被破损的中间以及一个飞快变更的外部地域，可能凭证破损的对于称规范来标志缺陷
。好比，旋错以及位错分说破损了旋转清静移晶格对于称性，而且在做作界中普遍存在
。斑马的条纹图案就搜罗这两种缺陷规范：在其四肢周围条纹倾向的变更中可能看到旋错（红框），而在新条纹割裂的中间存在位错（蓝框）
，如图5a所示。除了此之外，尚有其余典型的拓扑缺陷，好比多晶石墨烯中晶体之间的拓扑线缺陷即晶界 ，以及在拓扑超导体中可能将Majorana约束态约束在涡旋核的拓扑涡旋等 。

与前文所述非老例拓扑零星相似 ，拓扑缺陷零星的特色也无奈用老例的基于倒空间中布洛赫能带实际妨碍表征。好比，超流体以及拓扑超导体中的涡旋缺陷不会被有序参数不断变形破损，具备拓扑性子，这与非重大拓扑绝缘体中非零的贝里相具备相似的源头，可是这两者的表征却大不相同
，盖因前者并无周期性的意见 ，其拓扑性子需要用实空间绕组数来妨碍表征
。又如，经由在周期零星中退出妄想涡旋 ，可能掀开带隙
，并发生零能态
，这一零能态约束于涡旋中间处，这便是典型的Jackiw-Rossi模子 。借鉴这一拓扑涡旋的发肇道理 ，钻研职员运用3D打印制做声学类石墨烯晶格，进一步经由引入Kekulé妄想涡旋 ，实现为了声拓扑涡旋态
，这一声学态同样约束于涡旋的中间，并照料非重大的角相位绕组（图5b）。相似的措施被运用于固体声波零星中
，钻研职员在钢板上凭证Kekulé妄想涡旋部署螺栓，实现为了基于笔直振动方式的固体声涡旋 。在光学零星中，人们经由飞秒激光直写技术加工波导晶格、运用电子束光刻技术在硅片上刻蚀三角穿孔，分说在通讯波段上发生近红外拓扑零能方式以及狄拉克涡旋拓扑腔面发射激光器
。

最近 ，钻研职员发现 ，旋错缺陷的源头与欠缺晶体（即不旋错的晶体）的拓扑性子无关，并由此提出了体-旋错对于应关连，它将欠缺晶体的体拓扑性子与实空间拓扑缺陷分割起来 。这一发现表明，从狭义上讲，拓扑晶体绝缘体的量子化天气不光体如今欠缺晶体的领土处（对于应老例的拓扑领土态以及角态的泛起） ，还能体如今表征旋错缺陷旋转清静移性子的Frank角以及伯格斯矢量上，后者可能用旋错处的分数电荷予以表征。人们发如今由四方晶格引入缺陷组成的旋错中，其拓扑缺陷态照料以e/4为单元量的分数电荷；而在由六方晶格组成的旋错中
，拓扑缺陷态照料以e/6为单元量的分数电荷（图5c）。这里，e展现单元电荷。值患上留意的是，在光/声学等典型零星中 ，电荷这一意见实际上表征的是方式的局域态密度在频谱上的积分截断。

除了二维零星中的缺陷外，三维零星同样存在拓扑缺陷
。如图5d所示 ，钻研职员经由将层状重叠的二维拓扑绝缘体妨碍切割以及粘合，在三维空间中妄想出螺旋缺陷，其上约束有螺旋位错方式。除了上述位错缺陷外，其余幽默的拓扑缺陷还搜罗畴壁以及分形妄想等。拓扑缺陷的钻研，作为实空间拓扑与倒空间拓扑的前言，综合思考了两种拓扑的相互熏染
，可能在波的局域性操控上提供新的思绪
。

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图5. 拓扑缺陷
。（a）斑马条纹中的拓扑旋错（红框）以及位错（蓝框）。（b）在声学零星中基于Kekulé妄想涡旋妄想的声学Jackiw-Rossi型拓扑缺陷 。（c）基于四方以及六角晶格组成的拓扑旋错分说照料以e/4以及e/6为单元量的分数电荷 。（d）经由切割-粘合二维重叠拓扑绝缘体组成的三维螺旋位错。

本论文总结了在光声典型波规模，基于家养微妄想质料的非厄米拓扑 、非线性拓扑
、非阿贝尔拓扑以及拓扑缺陷钻研的最新妨碍 。这些非老例物理与拓扑相的散漫发生了良多亘古未有的特色与天气 ，但在实际批注  、性子探究以及运用钻研等方面尚有良多亟待处置的下场，值患上人们进一步探究。对于光声典型波规模的拓扑相的根基物理以及种种效应妨碍钻研，不光加深了人们对于拓扑道理导致的刚强物理新天气的清晰，也将增长光波、微波、太赫兹波、等离激元波以及声波、机械波等晃动效应在工程规模的新运用。期待这些非老例物理以及拓扑物理的涣散会驱动光声典型波规模的拓扑物理钻研的新浪潮。